优质课程名称：高等代数

开课时间：周三3-4节、周五3-4节、周五5-6节（单周）

开课地点：仙2-504

嘉宾简介

 丁南庆，南京大学数学系二级教授。1981年考入南京大学数学系，1988年硕士毕业留校任教，1993年获理学博士学位。主要研究领域是同调代数、环论、模论等，已在国内外重要学术刊物上发表论文100余篇。主持完成多项国家自然科学基金及博士点基金项目，先后获江苏省和国家教委科技进步奖、首届宝钢教育基金优秀教师奖、江苏省第四届青年科技奖、第五届霍英东青年教师奖二等奖、江苏省教学成果二等奖、中国高校科学技术自然科学奖二等奖等多个奖项。2008年获得南京大学“我最喜爱的老师”称号；2013年被评为南京大学“赵世良讲座教授”；2016年所主讲的《高等代数》入选南京大学首批“百层次”优质课程。

 理解数学的抽象魅力

2017年10月25日，2017级新生结束军训、正式开始学习大学课程的一个月后，南京大学校长陈骏走进课堂，了解本科课堂教学质量和“十百千”优质课程建设情况。陈校长选择的第二站，就是南大数学系教授丁南庆主讲的《高等代数》课。1981年考入南大数学系、1990年开始正式执教代数课程，丁南庆对南京大学和数学感情深厚。“我对数学是‘日久生情’，”丁南庆说，“而南大对我来说是最重要的存在。”

在课程学习中学会理解“数学”

2017年，南京大学实行大类招生的模式，数学系不再单独招生，而是与物理、大气、天文等学院组成理科实验班（数理科学类），这样，原先只面对数学系学生的《高等代数》课程，需要转型以适应数理大类新生的全新需求。目前，作为公共选修课开设的《高等代数》课程一共有两个班级，授课教师分别为丁南庆和刘公祥教授。《高等代数》课程贯穿整个大一学年，比数学基地班的同名课程内容少一些，但比《线性代数》课程的内容多一些，这是为大类新生以后的专业选择考虑的。“学科分流后，学生即使不选数学系，他在学习《高等代数》过程中受到的训练对他学习其他学科也是很有益的。在学生准入其他院系时，《高等代数》替代《线性代数》是没问题的。”丁南庆说。

“这门课程是从代数的角度讲解数学的，主要讲代数方面的基础知识”，丁南庆说，“代数、分析、几何是数学的三大分支，我们希望学生能够通过《高等代数》课程的学习，学会高等数学的基本思维方式。”

“中学阶段，学生主要学习初等数学的内容，老师讲课时会不断地重复每堂课的关键内容（特别是考试内容），而且学生学习的目标很明确——考一百分。因此，中学生学习知识时，更多地满足于‘记忆’。其实，用数学的术语来讲，你学的知识是‘有限的’或‘有界的’。但是到了大学阶段，就没有这个‘限’或‘界’了，大学阶段对知识的要求是‘理解’。 老师在课堂上主要讲授一些基础知识，但不是说你只需要这些知识！老师主要充当引路人的角色，很多知识需要你自己在课后进一步去理解、去领会、去探讨。从这个意义上说，在大学里，要学的东西太多了，可以说是‘无限的’或‘无界的’！你需要自己去不断充实。”丁南庆说。

陈骏校长在丁南庆教授的课堂上 （佘治骏 摄影）

为了让学生达到“理解数学”而不仅仅是“记忆数学”的目的，丁南庆建议同学们合理安排好不同的教学环节：

“首先，数学的门槛比较高，对抽象思维的要求相对较高，因此同学们需要在课前稍微预习一下，知道老师要讲什么内容——可以看不懂，但是要知道讲什么，特别要留意看不懂的地方，看看老师上课怎么讲，即使看懂了，也要听听老师讲的方式和你理解的方式是不是一样。

第二个环节是听课。同学们要去学习老师是如何处理课上的内容，怎么引进一些新的概念，怎么解释概念或问题的来龙去脉，这些东西是书本里没有的。一旦你理解了某个理论或方法的本质，你就能举一反三地学习其他知识，解决其他问题，甚至达到无师自通的境界。

第三个环节就是作业。每次课我们都布置作业，布置作业的目的就是希望同学们利用作业去消化和巩固前面所讲的知识。至于怎么让同学们理解这些知识，我觉得有两步：一步是做作业，通过做作业回到课本里、回顾老师讲的例题和习题；除作业之外，如果有余力，我建议大家多看一些参考书，因为数学的概念相对难理解，可能这本书的作者这么理解，那本书的作者那么处理，但是通常情况下，这些处理方法都是等价的，本质上是一样的。对某个概念有很多描述，只是从不同的角度看同一个问题而已。同学们可以选择更适合自己的角度去理解问题。”

“上大学之前的学习更注重结果而不是过程，考取大学就是终极目标。但到了大学之后，我们的终极目标变成了学习知识、培养能力、提高综合素质。大家应该逐渐学会由原来对前人知识和思维方式的全面接受转向对前人成果的理解和思考。我经常对同学们说，不能把做作业当成任务来完成，要通过做作业达到锻炼思维的目标，如果一直这样做，你的能力就能提高。也许你学的知识会忘记，但是，在吸收知识的过程中积累的经验、探索的方法、培养的能力已经潜移默化地深入到你的内心，这是忘不掉的。如果你能充分利用大学四年的过程，你不仅可以现在学得扎实，而且将来可以懂得更多，做得更好——这就是我理解的后劲。”。

 “优秀的老师”应该让学生体会到学习的快乐

“之前有个前辈讲过一句话：‘如果一个老师能让他班上所有的学生都取得好成绩，这是一个合格的老师；如果一个老师能让他的学生——哪怕只是一部分学生，对他教的东西产生浓厚的兴趣，体会到学习的乐趣，那么这是一个优秀的老师。’我觉得这句话讲得很有道理，我们应该努力成为一个优秀的老师。”丁南庆这样解释自己的教学理念。1988年留校任教到现在，近三十年的教学生涯中，他逐渐总结出自己上课的独特方法。

丁南庆教授接受采访

“老师要把课上好，首先要对这门课的教学内容非常熟悉。只有熟悉课程内容，才能在上课时‘游刃有余’、‘自由发挥’，达到好的教学效果。第二，老师要有责任心。老师面对的是一群学生，你上得好，影响的是‘一批人’，你上不好，影响的也是‘一批人’。第三，老师要通过教学的过程让学生体会到这门课的乐趣在哪里，激发学生的学习兴趣。第四，作为老师，仅仅教书是不够的，应该通过的自己的言传身教以及对教学工作的满腔热情和全心投入来感染学生，教育和帮助学生。”

从做老师开始，丁南庆就培养了一个习惯——上课不看讲稿，按照自己的思路去讲课，以保证教学过程的自然流畅。这样的习惯让他的课程受到学生的普遍欢迎。

《高等代数》课程的难点在于其抽象性。为了调动学生的兴趣和积极性，丁南庆想了不少办法。“比如说我们第一章讲多项式，学生普遍感到这部分内容比较抽象，不容易理解。其实，只要告诉学生：多项式与大家非常熟悉的整数有类似的性质。例如，整数里有整除的概念，多项式里面也有同样的概念。用大家熟悉的概念类比新的概念，新的东西就好理解一些。”

此外，课堂的互动也是他很看重的。丁南庆上课时经常设置例题让学生上讲台演示，“习题课上，我经常鼓励学生主动上讲台写出自己的‘解法’，即使做错了也没有关系——尝试过才知道对和错、难和易。 通过这个方式，同学们可以相互学习和借鉴！我可以针对学生的‘解法’，点评学生所用方法好在什么地方，用了那些知识点，错在哪里，还有哪些解法，从而让大家对所学知识有较好的理解。另外，除了正常布置作业外，我还经常留一些‘思考题’，让大家进一步思考和扩展。”

 “优秀的考生”与“优秀的学生”

三十年的教学生涯里，丁南庆最高兴的事是培养了很多好学生。在他教过的学生中，很多人已经是很有名气的学者教授、杰出青年、所在领域的骨干。学生们举行同学聚会时，常常会邀请丁老师参加。对学生取得的成就，丁南庆非常自豪，觉得当时的付出都很值得。

在平时的教学过程中，给他留下深刻印象的主要是喜欢问问题的学生。丁南庆说：“通过问问题才能有交流，有交流之后相互之间才能有了解。 解答学生的问题，不仅帮助了学生，其实也帮助了自己。通过解答问题，我可以知道自己的教学中存在哪些问题，下次要注意应该如何讲解相应的内容。这就是我理解的教学相长！”。

丁南庆觉得，从思想的深度和考虑问题的角度来看，现在的学生更加开放、灵活，他们对新事物的接受能力较强，知识面较宽；但是从勤奋用功的角度，现在学生不如从前。但他也说可能这是一种模式——“当年我们进校的时候，自己觉得已经非常用功了，但那时我们的老师也还是说我们不如上几届用功。”他常常对学生说，能考上南大的学生都是很优秀的——这个优秀主要体现在成绩方面，而他更希望南大的同学不仅仅是一个优秀的考生，更要做个优秀的学生——在取得好成绩的同时，关心公益、懂得感恩、富有爱心。

寄情数学 展望优课

1981年，丁南庆考入南京大学。从本科算起，他已在南大校园里生活了37个年头。刚入南大时，他因为自己的一口泰兴话，别人老是听不懂而有些自卑。“以前南大的本科生都要上《大学语文》课，老师有时候会请同学朗诵。我最害怕老师请我朗诵，我想如果点名让我朗诵课文的话，下面的同学可能会因为我的方言笑半天。”后来，在南大宽松和自由的学习氛围中，他慢慢地向同宿舍讲普通话比较标准的同学学习，一边学英语一边学汉语拼音，普通话有了长足的进步。

而当年丁南庆选择数学专业，可能带有些盲目性——只是因为高考时数学成绩不错。但通过慢慢地学习，他越来越感觉到了数学的魅力，最终将数学变成自己终身的职业。

青年时代的丁南庆

“大家普遍认为数学比较抽象，但抽象不是一件坏事，我认为数学的魅力之一就是抽象。比如，‘一’这个数字是极为抽象的概念，几乎所有的人都能毫无困难地掌握这样一个抽象的概念，但不同的人理解的角度是不一样的。我们在日常生活中说‘一张桌子’、‘一把椅子’时只说一个‘一’，但‘一’可以代表任何你想代表的东西，从这层意义上来说，好的抽象，大家都喜欢、都需要！有了抽象以后才能把具有共性的事物进行统一研究。有了抽象的共性，才有丰富多彩的个性。数学有用的原因就在于抽象——不同的人可以用它解决不同的问题。”

《高等代数》是后续许多课程的基础。为了进一步完善这门课程，尽可能地发挥数学的抽象魅力，数学系代数方向的教授们正在计划编写一本合适的教材。“目前数学基地班学习《高等代数》，理科大类新生也在学《高等代数》，其他院系还有《线性代数》……。我们希望把这几门课统一起来，编写一本适合上述几类学生的教材。这样做，一方面节约资源、整合资源，另一方面将课程做出自己的特色，更好地适应学校‘三三制’人才培养方案的要求。”对于优质课程《高等代数》的未来规划，丁南庆这样说。

采写｜李昕、匡卉